\chapter{二维与三维傅里叶变换公式推导}

\author{李国斌}
\date{2025.08.31}
	
	\begin{abstract}
		傅里叶变换是信号处理、图像分析、物理学等众多领域的核心数学工具之一。它将函数从时域（或空域）映射到频域，揭示其内在的频率成分。一维傅里叶变换的概念可以自然地推广到高维空间，用以处理多变量信号，如图像（二维）和体数据（三维）。本文旨在系统地推导从一维到二维再到三维傅里叶变换的积分公式，阐明其数学本质与几何意义，并采用\texttt{TikZ}包绘制示意图以辅助理解。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	傅里叶变换（Fourier Transform, FT）由法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在其热传导研究中首次提出。其核心思想是：任何周期函数都可以表示为一系列不同频率、不同幅值的正弦和余弦函数的叠加；而非周期函数则需要这些正弦余弦频率的连续谱来表示。
	
	设函数 $f(t)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上绝对可积，其连续傅里叶变换 $F(\omega)$ 定义为：
	\begin{equation}
		F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt
	\end{equation}
	其中 $i$ 是虚数单位，$e^{-i\omega t}$ 是复指数形式的核函数，代表了角频率为 $\omega$ 的复正弦基。
	
	在现代应用中，如医学成像（MRI）、计算机断层扫描（CT）和地震学等领域，需要处理包含两个或三个空间变量的数据。因此，将一维傅里叶变换推广至高维形式至关重要。本文第二节将推导二维傅里叶变换公式，第三节将推导三维傅里叶变换公式。
	
	\section{二维傅里叶变换}
	\subsection{公式推导}
	考虑一个二元函数 $f(x, y)$，它定义在二维实空间 $\mathbb{R}^2$ 上，例如可以代表一张图像的灰度值分布。我们目标是找到其在二维频率域 $(\omega_x, \omega_y)$ 上的表示。
	
	推导遵循一维思想的自然推广：用二维复正弦平面波 $e^{-i(\omega_x x + \omega_y y)}$ 作为基函数，对原函数 $f(x, y)$ 进行“投影”或“分解”。这个基函数代表了在$x$方向频率为 $\omega_x$，在$y$方向频率为 $\omega_y$ 的平面波。
	
	因此，二维连续傅里叶变换对定义如下：
	
	\begin{definition}[二维连续傅里叶变换]
		\label{def:2dft}
		正向变换（空域 $\to$ 频域）：
		\begin{equation}
			F(\omega_x, \omega_y) = \iint_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-i(\omega_x x + \omega_y y)} \, dx \, dy
		\end{equation}
		逆向变换（频域 $\to$ 空域）：
		\begin{equation}
			f(x, y) = \frac{1}{(2\pi)^2} \iint_{-\infty}^{\infty} F(\omega_x, \omega_y) e^{i(\omega_x x + \omega_y y)} \, d\omega_x \, d\omega_y
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	\subsection{几何释义}
	正向变换公式中的指数项 $e^{-i(\omega_x x + \omega_y y)}$ 可以理解为在二维平面上传播的复平面波。其等相位面由 $\omega_x x + \omega_y y = \text{常数}$ 定义，是一组平行的直线。波的方向与频率矢量 $\boldsymbol{\omega} = (\omega_x, \omega_y)$ 的方向相同。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% Draw axes
			\draw[->, thick] (-1, 0) -- (4, 0) node[right] {$x$};
			\draw[->, thick] (0, -1) -- (0, 4) node[above] {$y$};
			\node at (0,0) [below left] {$O$};
			
			% Draw wave vector
			\draw[->, very thick, red] (0, 0) -- (3, 2) node[midway, above left] {$\boldsymbol{\omega}=(\omega_x, \omega_y)$};
			
			% Draw wave fronts (simplified as parallel lines perpendicular to k)
			\foreach \i in {-1, 0, 1, 2} {
				\draw[blue, opacity=0.6] ({\i * 0.5547 - 0.832}, {\i * 0.832 + 0.5547}) -- ({\i * 0.5547 + 1.664}, {\i * 0.832 - 1.1094});
			}
			\node[blue, right] at (2.5, -1) {等相位面};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	变换结果 $F(\omega_x, \omega_y)$ 是一个复函数，其模值表示原始函数 $f(x, y)$ 中所包含的频率为 $(\omega_x, \omega_y)$ 的平面波成分的“强度”，其幅角表示该平面波成分的“相位”。
	
	\section{三维傅里叶变换}
	\subsection{公式推导}
	将二维变换的思想进一步推广至三维空间。考虑一个三元函数 $f(x, y, z)$，例如描述某种介质在三维空间中各点密度的分布。我们旨在将其分解为三维空间中的复正弦平面波 $e^{-i(\omega_x x + \omega_y y + \omega_z z)}$。
	
	其推导过程与二维情况完全类似，只需再增加一重积分。三维连续傅里叶变换对定义如下：
	
	\begin{definition}[三维连续傅里叶变换]
		\label{def:3dft}
		正向变换（空域 $\to$ 频域）：
		\begin{equation}
			F(\omega_x, \omega_y, \omega_z) = \iiint_{-\infty}^{\infty} f(x, y, z) e^{-i(\omega_x x + \omega_y y + \omega_z z)} \, dx \, dy \, dz
		\end{equation}
		逆向变换（频域 $\to$ 空域）：
		\begin{equation}
			f(x, y, z) = \frac{1}{(2\pi)^3} \iiint_{-\infty}^{\infty} F(\omega_x, \omega_y, \omega_z) e^{i(\omega_x x + \omega_y y + \omega_z z)} \, d\omega_x \, d\omega_y \, d\omega_z
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	\subsection{几何释义}
	此时，基函数 $e^{-i\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}}$ (其中 $\boldsymbol{\omega} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z)$, $\mathbf{r} = (x, y, z)$) 代表了一个在三维空间中传播的平面波。其传播方向由波矢 $\boldsymbol{\omega}$ 决定，等相位面是垂直于 $\boldsymbol{\omega}$ 的一系列平面。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			% Draw 3D axes
			\draw[->, thick] (0,0,0) -- (4,0,0) node[anchor=north east]{$x$};
			\draw[->, thick] (0,0,0) -- (0,4,0) node[anchor=north west]{$y$};
			\draw[->, thick] (0,0,0) -- (0,0,4) node[anchor=south]{$z$};
			
			% Draw a vector k in 3D space
			\draw[->, ultra thick, red] (0,0,0) -- (3, 1.5, 2) node[midway, above left] {$\boldsymbol{\omega}$};
			
			% Draw a plane perpendicular to k (approximation)
			% We define a point on the plane: the endpoint of k
			\coordinate (P) at (3, 1.5, 2);
			% Calculate a normal vector (which is k itself)
			% We draw a small square around point P to represent the plane
			\draw[blue, thick, fill=blue!20, opacity=0.5] (2.6, 1.7, 1.4) -- (3.4, 1.3, 1.6) -- (3.4, 1.3, 2.4) -- (2.6, 1.7, 2.6) -- cycle;
			\node[blue, right] at (3.5, 1, 2) {等相位面};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$F(\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 的模值量化了三维信号 $f(x, y, z)$ 中存在于 $(\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 所定义的方向和空间频率上的平面波成分的幅度。
	
	\section{结论}
	本文从一维傅里叶变换的基本定义出发，通过数学推广，系统地推导了二维和三维连续傅里叶变换的积分公式。推导的核心在于使用高维复指数函数 $e^{-i\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}}$ 作为分析基函数，该函数具有明确的物理意义——代表特定方向和频率的平面波。
	
	二维变换是分析图像等平面信号的数学基础，而三维变换则在处理体数据（如CT、MRI扫描结果、流体力学场、晶体结构分析）中发挥着不可或>缺的作用。理解其从一维到高维的推导过程，有助于更深刻地把握其统一的内核与几何直观，为在各类科学与工程问题中灵活应用该强大工具奠定坚实的理论基础。
	